1.softmax初探

在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。
首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。对于max我们都很熟悉，比如有两个变量a,b。如果a>b，则max为a，反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b 。
另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。

2.softmax的定义

首先给一个图，这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。
(图片来自网络)

假设有一个数组V， V i $V_i$ 表示V中的第i个元素，那么这个元素的softmax值为:

这个定义可以说很简单，也很直观。那为什么要定义成这个形式呢？原因主要如下。
1.softmax设计的初衷，是希望特征对概率的影响是乘性的。
2.多类分类问题的目标函数常常选为cross-entropy。即 L = − ∑ k t k ⋅ l n P ( y = k ) $L=−\underset{k}{∑}{t}_k⋠lnP(y=k)$ ，其中目标类的 t k $t_k$ 为1，其余类的 t k $t_k$ 为0。
在神经网络模型中(最简单的logistic regression也可看成没有隐含层的神经网络)，输出层第i个神经元的输入为 a i = ∑ d w i d x d $a_i=\underset{d}{∑}{w}_{id}{x}_d$ 。
神经网络是用error back-propagation训练的，这个过程中有一个关键的量是 ∂ L / ∂ α i $\mathrm{∂}L/\mathrm{∂}{\mathrm{Î\pm }}_i$ 。后面我们会进行详细推导。

3.softmax求导

前面提到，在多分类问题中，我们经常使用交叉熵作为损失函数