爵爷壮心不死，但已慢慢凋零——阿蒂亚对黎曼猜想的证明为何是失败的？

作者：叶天明

北京时间 2018 年 9 月 24 日，菲尔兹奖与阿贝尔奖得主，迈克尔·阿蒂亚爵士在海德堡获奖者论坛上现场宣讲了他关于黎曼猜想的证明，而证明的预印本文章也已公开。然而，5页的论文里，只列出了10个数学公式；45分钟的宣讲里，只有一页PPT与证明过程有关。过于天真的想法，过度缺失的细节，使得数学界对该证明的反应相当负面。许多数学家对阿蒂亚的证明“不予置评”，甚至把它当成了一场笑话。本是一代宗师烈士暮年壮心不已，摘取数学皇冠的传奇史诗，却沦为了一地鸡毛的闹剧。

迈克尔·阿蒂亚爵士



数学皇冠的新挑战者和老去的国王

2018年9月，阿蒂亚公开宣称已解决黎曼猜想，将会在海德堡论坛进行宣讲。黎曼猜想已证明的消息一瞬间引爆了整个科学界，如能成功证明历时160年尚未攻破的黎曼猜想，不但数学界将迎来一次伟大的突破，众多数学定理也将因此得证；而迈克尔·阿蒂亚将跻身于历史上最伟大的数学家之列，加冕当代数学之王的桂冠，并得到克莱研究所的100万美元奖金。
黎曼猜想是数学中一个关于素数分布的猜想，核心是证明黎曼Zeta函数的所有非平凡零点均落在复平面的Re(s)=1/2这条直线上。由于黎曼猜想与数学和物理中许多重要结果有关，证明了黎曼猜想就能随之推出几乎一千多条定理，反之则一千多条定理将随之埋葬，因此黎曼猜想被称为“猜想界的皇冠”。从1859年黎曼提出猜想以来，历史上有许多数学家尝试摘取这座皇冠，但无一例外均被验证为失败。然而新的挑战者却不太一样，他本身也是戴有多项王冠的20世纪数学王座之一——迈克尔·阿蒂亚爵士。
迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929.04.22--），英国数学家，剑桥大学博士，先后在普林斯顿、剑桥和牛津任教，曾获得菲尔兹奖和阿贝尔奖，曾被授予爵士和英国皇家学会院士。阿蒂亚爵士是20世纪数学界最伟大的数学家之一，研究横跨代数几何、复几何、代数拓扑、数学物理和弦论等，在几十年的研究生涯中摘取了多项“数学王冠”，包括拓扑K理论、阿蒂亚-辛格指标定理、阿蒂亚-博特不动点定理等，其中指标定理被誉为20世纪最伟大的定理之一，涉猎领域之丰富、研究理论之深刻当世罕见。
尽管从荣誉来看，阿蒂亚证明黎曼猜想堪称众望所归；但是众多桂冠的背后，不但是89岁高龄的耄耋之躯，还是远离数学前沿多年，不熟悉最新工具的“数学界古董”。人们在敬佩阿蒂亚勇攀高峰的同时，也对阿蒂亚的精力和能力提出了疑问。人们不禁质疑，现在的阿蒂亚能证明黎曼猜想吗？

阿蒂亚演讲中唯一的一页证明



“上帝魔数”的诡证，立于物理危崖之上的数学证明

在万众瞩目下，阿蒂亚于9月24在海德堡论坛完成了45分钟的演讲，然而对于最关键的证明部分，阿蒂亚却只用了3分钟时间，用一张PPT轻轻带过，只介绍了他的基本思路——利用推演精细结构常数的Todd函数，靠反证法证明黎曼猜想。阿蒂亚证明黎曼猜想的论文也只有5页，只有寥寥几个公式，几乎没有推导细节。
尽管黎曼猜想非常高深，但是阿蒂亚的PPT和论文具有大量槽点，对于普通的数学工作者也显而易见。首先，阿蒂亚就用了大量未经证明的“断言”替代了严格的“证明”。比如阿蒂亚断言了Todd函数所具有的一些性质，比如在Re(s)=1/2单调递增且收敛于精细结构常数的倒数等。尽管有的数学家习惯天马行空地给出证明大框架，但也可能在细节上犯错误。例如望月新一发展“宇宙际几何”对于ABC猜想的证明，就在近日被舒尔茨和斯蒂克斯指出了错误。更何况阿蒂亚如此“偷懒”地省略了全部证明过程，更令人难以接受。基于阿蒂亚给出的Todd函数收敛的结果，目前已有物理学家开展了计算，普遍反映计算结果与论文所言并不吻合，说明阿蒂亚的直觉很可能是不正确的。
其次，阿蒂亚过于执念于数学和物理的“巧妙联系”，基于物理的数学证明缺乏根基。阿蒂亚的思路非常激进，绕开了几十年来大部分黎曼猜想的部分研究成果，借鉴的则是狄拉克等人研究的量子场论，例如他断言Todd函数收敛于物理最重要的常数——精细结构常数，这是一个体现原子光谱精细结构的无量纲量，被称为“上帝魔数”。阿蒂亚对于沟通黎曼猜想和量子场论的尝试固然有价值，但立于物理学的数学证明很可能被挑战。比如近年天体物理界对于精细结构常数的精确测量发现，这个常数很可能随着时间变化而缓慢增大，早期宇宙的精细结构常数比现在比现在小大约百万分之7。那么，Todd函数究竟是收敛于早期宇宙还是现在宇宙的精细结构常数呢？
无论是大框架上证明思路缺乏说服力，还是基于物理的推导很可能出现错误，都使得阿蒂亚关于黎曼猜想的证明失去了人们的信任。除非阿蒂亚或是后继研究者能沿着这条路补全细节，做出有价值的进展，否则这篇黎曼猜想的证明，只能是如立于危崖一般摇摇欲坠。

阿蒂亚在海德堡论坛上的演讲



廉颇已老，一地鸡毛？如何评价阿蒂亚爵士

在科学界经历了这一场一地鸡毛的闹剧后，剩下的问题就是：如何评价阿蒂亚对于黎曼猜想的研究，以及如何重新评价阿蒂亚爵士本人？
首先，我们要对阿蒂亚爵士在89岁高龄勇于挑战黎曼猜想致以最大的敬意。阿蒂亚已经是20世纪最伟大的数学家了，完全可以保持数学界的崇高地位，但他愿意放下过往的荣誉成就，挑战最重要最困难的问题。而且在数学学科高度分散的今天，上一个独立解决大猜想的还要追溯到解决费马大定理的威尔斯，哪怕是解决庞加莱猜想的佩雷尔曼也利用了汉密尔顿的里奇流技术。阿蒂亚尝试独立发展新技术尝试证明的举动，无异于单枪匹马挥剑屠龙的勇士，充满了浪漫主义和老派骑士精神。无论是更像打败巨人歌利亚的大卫，还是更像冲向风车的堂吉诃德，阿蒂亚都是英伦最具风骨的骑士。
然而我们也要承认，阿蒂亚已经不再是那个数学国王了。就像在尝试证明黎曼猜想之前，阿蒂亚也曾尝试给出六维球面没有复结构，有限群分类等问题的新思路，但都遭到过对应领域学者的质疑，只是这次证明黎曼猜想第一次引起了大众的关注，而海德堡演讲过后，恐怕也让科学界大多数人难以再相信阿蒂亚的工作了，廉颇已老，令人十分遗憾。
尽管在媒体的宣传中，大众还是对爵爷保持了足够的尊重，但是过度强调精神上的伟大，对数学领域的发展并不是好事。任何人挑战数学猜想的精神都值得鼓励，但更重要的是研究者必须为自己公布的研究成果负责。一个普通的数学家的不成熟的理论，是很难引起社会的广泛关注的，而成名数学家有过往荣誉为其背书，但也更应该为人们的信任和期待负责，例如多倾听年轻数学家的意见，写出更负责的论文，不过度夸大自己的研究成果等。
老骥伏枥，志在千里；爵士暮年，壮心不已。哪怕爵爷热爱数学的心还在，我们也不得不承认，他的技术和意识已经随着年华逝去而慢慢凋零。我们期待阿蒂亚探索的新方向也许能突破人们的期待，为后人研究给予启发；同时我们也期待，未来有更多杰出的数学家投身黎曼猜想等数学重大问题，传承阿蒂亚等前人的火炬，继续在数学的道路探索前进。

参考文献：
[1]Michael Atiyah, The Riemann Hypothesis

编辑：蜜汁酱