Ford-Fulkerson 最大流算法-阿里云开发者社区

流网络（Flow Networks）指的是一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c(u, v) ≥ 0。如果 (u, v) ∉ E 则可以规定 c(u, v) = 0。流网络中有两个特殊的顶点：源点 s （source）和汇点 t（sink）。为方便起见，假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点 v ∈ E，存在一条路径 s --> v --> t。因此，图 G 为连通图，且 |E| ≥ |V| - 1。

下图展示了一个流网络实例。

设 G = (V, E) 是一个流网络，其容量函数为 c。设 s 为网络的源点，t 为汇点。G 的流的一个实值函数 f：V×V → R，且满足下列三个性质：

容量限制（Capacity Constraint）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) ≤ c(u, v)。

反对称性（Skew Symmetry）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) = - f(v, u)。

流守恒性（Flow Conservation）：对所有顶点对 u ∈ V - {s, t}，要求 Σ _v∈V f(u, v) = 0。

f(u, v) 称为从顶点 u 到顶点 v 的流，流的值定义为：|f| =Σ _v∈V f(s, v)，即从源点 s 出发的总流。

最大流问题（Maximum-flow problem）中，给出源点 s 和汇点 t 的流网络 G，希望找出从 s 到 t 的最大值流。

满足流网络的性质的实际上定义了问题的限制：

经过边的流不能超过边的容量；

除了源点 s 和汇点 t，对于其它所有顶点，流入量与流出量要相等；

上面的图中描述的流网络可简化为下图，其中源点 s = 0，汇点 t = 5。

上图的最大流为 23，流向如下图所示。

Ford-Fulkerson 算法是一种解决最大流的方法，其依赖于三种重要思想：

残留网络（Residual networks）

增广路径（Augmenting paths）

割（Cut）

这些思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值。

最大流最小割定理

如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G = (V, E) 中的一个流，则下列条件是等价的：

f 是 G 的一个最大流。

残留网络 G _f 不包含增广路径。

对 G 的某个割 (S, T)，有 |f| = c(S, T)。

Ford-Fulkerson 算法是一种迭代方法。开始时，对所有 u, v ∈ V 有 f(u, v) = 0，即初始状态时流的值为 0。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点 s 到汇点 t 之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。

1 FORD-FULKERSON-METHOD(G, s, t)
2   initialize flow f to 0
3   while there exists an augmenting path p
4     do augment flow f along p
5   return f

上述伪码实现的时间复杂度为 O(max_flow * E)。

C# 代码实现如下：

23 Console.WriteLine(); 24 Console.WriteLine( " Graph Vertex Count : {0} " , g.VertexCount); 25 Console.WriteLine( " Graph Edge Count : {0} " , g.EdgeCount); 26 Console.WriteLine(); 28 int maxFlow = g.FordFulkerson( 0 , 5 ); 29 Console.WriteLine( " The Max Flow is : {0} " , maxFlow); 31 Console.ReadKey(); 32 } 34 class Edge 35 { 36 public Edge( int begin, int end, int weight) 37 { 38 this .Begin = begin; 39 this .End = end; 40 this .Weight = weight; 41 } 43 public int Begin { get ; private set ; } 44 public int End { get ; private set ; } 45 public int Weight { get ; private set ; } 47 public override string ToString() 48 { 49 return string .Format( 50 " Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}] " , 51 Begin, End, Weight); 52 } 53 } 55 class Graph 56 { 57 private Dictionary< int , List<Edge>> _adjacentEdges 58 = new Dictionary< int , List<Edge>> (); 60 public Graph( int vertexCount) 61 { 62 this .VertexCount = vertexCount; 63 } 65 public int VertexCount { get ; private set ; } 67 public IEnumerable< int > Vertices 68 { 69 get 70 { 71 return _adjacentEdges.Keys; 72 } 73 } 75 public IEnumerable<Edge> Edges 76 { 77 get 78 { 79 return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e); 80 } 81 } 83 public int EdgeCount 84 { 85 get 86 { 87 return this .Edges.Count(); 88 } 89 } 91 public void AddEdge( int begin, int end, int weight) 92 { 93 if (! _adjacentEdges.ContainsKey(begin)) 94 { 95 var edges = new List<Edge> (); 96 _adjacentEdges.Add(begin, edges); 97 } 99 _adjacentEdges[begin].Add( new Edge(begin, end, weight)); 100 } 102 public int FordFulkerson( int s, int t) 103 { 104 int u, v; 106 // Create a residual graph and fill the residual graph with 107 // given capacities in the original graph as residual capacities 108 // in residual graph 109 int [,] residual = new int [VertexCount, VertexCount]; 111 // Residual graph where rGraph[i,j] indicates 112 // residual capacity of edge from i to j (if there 113 // is an edge. If rGraph[i,j] is 0, then there is not) 114 for (u = 0 ; u < VertexCount; u++ ) 115 for (v = 0 ; v < VertexCount; v++ ) 116 residual[u, v] = 0 ; 117 foreach ( var edge in this .Edges) 118 { 119 residual[edge.Begin, edge.End] = edge.Weight; 120 } 122 // This array is filled by BFS and to store path 123 int [] parent = new int [VertexCount]; 125 // There is no flow initially 126 int maxFlow = 0 ; 128 // Augment the flow while there is path from source to sink 129 while (BFS(residual, s, t, parent)) 130 { 131 // Find minimum residual capacity of the edhes along the 132 // path filled by BFS. Or we can say find the maximum flow 133 // through the path found. 134 int pathFlow = int .MaxValue; 135 for (v = t; v != s; v = parent[v]) 136 { 137 u = parent[v]; 138 pathFlow = pathFlow < residual[u, v] 139 ? pathFlow : residual[u, v]; 140 } 142 // update residual capacities of the edges and reverse edges 143 // along the path 144 for (v = t; v != s; v = parent[v]) 145 { 146 u = parent[v]; 147 residual[u, v] -= pathFlow; 148 residual[v, u] += pathFlow; 149 } 151 // Add path flow to overall flow 152 maxFlow += pathFlow; 153 } 155 // Return the overall flow 156 return maxFlow; 157 } 159 // Returns true if there is a path from source 's' to sink 't' in 160 // residual graph. Also fills parent[] to store the path. 161 private bool BFS( int [,] residual, int s, int t, int [] parent) 162 { 163 bool [] visited = new bool [VertexCount]; 164 for ( int i = 0 ; i < visited.Length; i++ ) 165 { 166 visited[i] = false ; 167 } 169 Queue< int > q = new Queue< int > (); 171 visited[s] = true ; 172 q.Enqueue(s); 173 parent[s] = - 1 ; 175 // standard BFS loop 176 while (q.Count > 0 ) 177 { 178 int u = q.Dequeue(); 180 for ( int v = 0 ; v < VertexCount; v++ ) 181 { 182 if (! visited[v] 183 && residual[u, v] > 0 ) 184 { 185 q.Enqueue(v); 186 visited[v] = true ; 187 parent[v] = u; 188 } 189 } 190 } 192 // If we reached sink in BFS starting from source, 193 // then return true, else false 194 return visited[t] == true ; 195 } 196 } 197 } 198 }

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