多项式除法

举例

图示

1. 1.
   将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为 x ）。结果写在横线之上( x 3 ÷ x = x 2 ).
2. 2.
   将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） ( x 2 ·( x −1) = x 3 − x 2 ).
3. 3.
   从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。( x 3 −( x 3 − x 2 ) = x 2 )然后，将分子的下一项“拿下来”。
4. 4.
   把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）
5. 5.
   重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

整除

播报

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如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

应用

播报

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多项式的因式分解

图示

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 有理根定理 （ Rational root theorem ） 得到的。如果一个次多项式 的一个根已知，那么可以使用 多项式长除法 因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零 ^[3] 。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知和这两个，那么可以先从中除掉线性因子得到，再从中除掉 ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 有理根定理 （ Rational root theorem ）可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

多项式长除法 可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。 [2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r) 2 的余式——也即，除以 x 2 -2rx+r 2 ——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。