伽罗瓦理论之美
参考URL: https://zhuanlan.zhihu.com/p/28023009

中文名：群
外文名：group
含 义：数学概念

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来， “数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构 ，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群： 给一个集合中的元素定义一种运算“乘法” （这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个 集合中的元素和这个“乘法”满足 ：
<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；
<2> 结合律：这个“乘法”满足(a b) c=a (b c)；
<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有 e a=a e=a，e被称为单位元；
<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素 a − 1 互为逆元。

此时， 这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

环与域：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。

特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。 比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。

二、什么是阿贝尔群

三、群论入门