最近学数据库概论学到了 关系数据库 的关系代数了。哎嘛，真的把我整晕了，尤其是关系代数的使用，很容易让人被蒙在鼓里。

对我来说 槽点最大的莫过于书上的例子不多了，本来就挺抽象的一种 查询 语言，加上没有足够多让我懂的例子 (不过我本来也比较迟钝了) ，真的是难上加难...
但没办法啊，这是我需要跨过的一道坎，于是我决定慢慢写出这篇小记（ 主要针对数据库关系代数 ）。不求挖的多深，但求能理解地透彻点😂
目标是...希望这篇文章对大家有所帮助吧！废话不多说，开整！ o(￣ヘ￣o＃)

注意，因采用了动图(WebP)直观表达，流量用户请慎重浏览~

关系代数是一种查询语言。

0x00 关系代数演示工具

仍在开发中，稍后会在这里放出在线网站链接~

你可以强势围观，这是一个开源的项目： https://github.com/SomeBottle/RA

咱有时间就会写写，不会咕咕咕哒！ (。﹏。*)

0x01 小概念

展开阅读：行与列 , 目&度&元数 , 属性&字段 , 元组&基数&分量 , 域

目 & 度 & 元数

1.如果使用关系表进行展示的话， 属性数（字段数） 其实就是 列数 ，而进一步我们将属性数称为 元数 或者 目 或者 度 。

2.这样看来其实 元数就是目，目也就是度 。

属性 & 字段

1. 属性 就是 字段 （至少在数据库关系表这里是这样），都表示的是 列 。

2.上面和下面的图中第一行 学号,姓名,性别... 等等是 属性名（字段名） 。

元组 & 基数 & 分量

1.表中的 一行 ，是 一条记录 ，也是 一个元组 ，有n个元素的元组可以被称为 n元组 。

2.记录（元组）的数称为 基数 ，一定一定注意辨别这里的基数和下面 域的基数 。

3. 分量 是元组中一个 属性对应的值 。

1. 域 就是属性的 取值范围所在 。

2.域是一个 集合 ，域这个 集合 里的值都是 统一数据类型的 。

3.域也有一个 域的基数 ， 域的基数 代表域能取的值的数量，比如： 年龄属性的域={17,18,19,20,21,22,23,24,25} ，那么这个域的基数就是9

咱实话实说，关系代数这一部分第一个让我晕头的地方就是这个笛卡尔积o(≧口≦)o，接下来我尽力搞懂并用动图展示出来笛卡尔积到底做了什么。

为什么这里是 广义笛卡尔积 呢？我们先看 笛卡尔积 算了什么：

笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积（Cartesian product），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员

摘自某百科

这个概念看得我脑袋嗡嗡的，什么叫 “第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员” ？结合例子琢磨了一会儿，我结合离散数学教材关于笛卡尔积的定义梳理了一下：

笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积，又称直积，表示为X×Y。X中的元素作为第一个元素，Y中的元素作为第二个元素，构成有序对。而笛卡尔积就是所有这样的有序对构成的一个集合。

接下来我们回到这里， 域 其实就是一个 集合 ，结合上文， 笛卡尔积是在域上面的一种<集合>运算 ，下面放个简单的例子：

复习一下，一个 域 允许的 不同取值的个数 称为这个 域的基数 。换种说法，也是一个 集合 中的 元素个数 。

在上图的示例中，TEACHER域里有 张前程,赵向前 两位老师，这个域的基数也就是2；而MAJOR域里有 计算机专业,信息专业 两个专业，这个域的基数也是2。最后算出的域中有四个有序对，结果这个域的基数是4.

当 域的基数为m和n 的两个域进行笛卡尔积后我们得到的 域 的 域的基数 就是 m×n （这里×是乘号的意思哈，不要多想！ (￣△￣；)）

仔细看一下能发现上面的例子中有个 有序对 的概念，不用怕，在关系这里我们后面就用不着它了！看看接下来这个例子：

到底其实我们算出了一个包含 老师所带专业课程的所有可能性 的集合（域），把每一项元素放进关系中，这不就是元组嘛！

现在再说回 广义笛卡尔积 ，为什么“广义”呢？因为它面向的是关系，通过 操作元组 进行运算。接下来我们快速上一个例子：

两个分别为 n目 和 m目 的关系R和S的广义笛卡尔积是一个 (n+m)列(目) 的元组的集合(新关系)。元组的 前n列 是 关系R 的一个元组， 后m列 是 关系S 的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有 k1 × k2 个元组。

进行广义笛卡尔积时对两个关系的要求是比较宽松的：

不要求 两个关系的 目(度,元数,属性数,列数) 相同。

有了上面这条，其实也应该知道了，广义笛卡尔积也 不要求 相应属性取自同一个域。

在这之后我们再来个详细点的例子，把两张 不同 的表进行笛卡尔积：

在数据库关系里， 笛卡尔积 是面向 域（集合） ，操作元素来进行计算的；而 广义笛卡尔积 是面向 关系 ，操作元组来进行计算的。

随便两个关系 都可以进行广义笛卡尔积运算（在保证 结果的关系 有意义的情况下）

逻辑表达式形如 A θ B ，也就是 将A表达式和B表达式进行比较 ， θ 是比较运算符。举几个例子： StudentAge > 17 , 17 < StudentAge , CourseNum ≥ StudentNum , StudentName = 'Jerry' 。

上面的例子中 StudentAge , StudentName 一类是属性名，而 17 , 'Jerry' 一类则是常量。

字符串常量 请一定记得用 单引号 括起来。

所以A和B表达式可以是 属性名 , 常量 , 书上还补充说可以是 简单函数 ，不过在基础应用中不太能见得到。

多个 逻辑表达式可以用 逻辑运算符 进行连接，举几个例子： AθB ∧ CθD , AθB ∨ CθD , ┐(AθB) 。

大体来说， 选择 选的是关系中符合条件的 元组 ，得到的结果是 元组集合（也算一个关系）

投影可以说是四种专门关系运算中最简单的一种了，我们可以简单走一遍~

投影是对 列 和少部分 行 进行操作的一种运算，我们先直接上例子：

投影语句形如 ΠA(关系) 其中 A 是属性名。

投影选出了 特定属性名 对应的 列 。

投影选择出 一列或多列 属性列后，需要 去除重复元组 ， 这也是为什么说投影涉及少部分行上的操作。

除运算是同时从 行 和 列 的方向进行运算的。

这里的除运算理解起来可能有点“绕”，尤其是书上还引用了一个 “象集” 的概念来定义除法。那好吧 o(*￣3￣)o，我们先看看 象集做了啥子 ：

象集这个概念以我的水平实在是难以用文字表达清楚，这里就先上直观示例了：

上面的例子R(X,Z)中X指代了 单个属性列B ，接下来我们来几张静态图展示一下 X代表一个属性组的情况 （其实是这里懒得做动图了_(´ཀ`」 ∠)_）

【展开查看例子】 X代表包含B,C属性列的属性组

象集做的事无非是 一次选择 和 一次投影 。比如我想找R关系中 x的象集 ，那么先选择的是 X的分量 等于 x 的 元组（可能有多个，组成集合） ，然后将这些元组（集）在 Z属性组 上进行投影，得到x的象集。

象集的英文是Image Set ，没错，它也是 集合 ！如果最后得到的结果中有重复项请记得 去掉重复项 。

接下来继续看 除运算 ，书上之所以用了象集的概念来定义，我觉得是因为除运算实际上是 求象集的 “反向操作” ，从结果找源头 ，看接下来这个例子：

上面这个例子中结果得到的是 单属性列A ，下面我们再来个相除得到 属性组 的例子：

总结一下就是：

这里的 除运算 可以看作是 求象集的反向操作 。比如我算 R ÷ S ，其实就是找 S关系和R关系相同的部分 是 R中谁的象集 。

通过上面两个例子可以发现，除号 前面 关系的 元组数 一定 ≥ 除号 后面 关系的 元组数 。例如我算 R÷S ，如果R的元组数＜S的元组数，是肯定 除了个寂寞的 。

另外，进行除运算的两个关系必须要有 共同的属性列 ， 不然运算是没有任何效果的。

连接的符号是 ⋈ ，一般连接是对 行 进行操作，一部分情况（ 自然连接 ）下连接 还要 对 列 进行(去重)操作。

连接因为条件不同，被分为了 θ连接 ， 等值连接 ， 自然连接 几种，咱也准备分开记这几个了~

连接必需的一步

连接其实等同于从两个关系的 广义笛卡尔积 中按 条件 进行 选择 ，运算式中⋈符号下面的表达式其实和选择里的F一样是 逻辑表达式 ，但 要注意 ，这里逻辑表达式θ两端用于比较的属性组是有限制的， 详细看下面的θ连接 。

例子中得到的R和S两个关系的广义笛卡尔积：

R.COURSEID S.COURSEID TEACHER

其中属性列 ID , NAME , R.COURSEID 是原关系R的属性列，而 S.COURSEID ， TEACHER 是原关系S的属性列

在接下来的示例中，咱就用这张表来做示例了嗷~(/▽＼)

θ连接其实简称就是连接，很有存在感的便是 代表比较运算符的 θ 了 （￣□￣；）
废话不多说，我们先上直观例子：

主要操作就是从两个关系的广义笛卡尔积中 按条件进行选择 了，由此很大程度上可以参考上面的 选择 部分。尽管如此，还是要 注意 这些限定：

拿 R ⋈ S(逻辑表达式：A θ B) 进行举例， A属性组 只能在 R 这部分选，而 B属性组 只能在 S 这部分选。

A 和 B 是属性组，那么A和B的 度数（列数） 一定要 相同 。

上面举的例子可能还有点不清不白，其实咱还可以皮点嘛(￣^￣)ゞ，比如说这样写：

在逻辑表达式中我们将学号 ID 和课程号 S.COURSEID 相比。可想而知，因为 在广义笛卡尔积结果中 学号是 恒大于 课程号的，所以结果自然是：

等值连接是基于 θ连接 的，不同的是等值连接规定 θ是等号= ，话不多说，直接上例子：

关系R与关系S自然连接表示为： R ⋈ S 。

自然连接是在 等值连接 上的扩充，不过自然连接有了新的要求：

逻辑表达式中进行比较的两个属性组 A 和 B 必须是 相同的属性组 。

自然连接结果中要 去除重复的属性列 。

结合上面两点，自然连接 过程中一定 会有 重复列 出现。

就 第1点 来说，比如上面的例子中， R.COURSEID 是R关系中的 COURSEID 属性列，而 S.COURSEID 是S关系中的 COURSEID 属性列，他们都是 COURSEID 属性，都是 课程号 ，所以可以进行自然连接。

如果我拿R关系中的 ID 和S关系中的 COURSEID 属性列作为比较对象，因为二者并不是同一个属性名， 无法进行自然连接 。

第2点 的话咱还是整个例子（紧接上一个等值连接的例子，因为等值连接举的例子中R关系的COURSEID和S关系的COURSEID是同一个属性）：

外连接则又是在 自然连接 上的扩展（一环套一环啊喂(°ー°〃) ），它与自然连接不同的地方是 保留了悬浮元组 。

什么是 悬浮元组 ？

在进行自然连接后，原 R关系 和 S关系 中因为 不满足条件 ，可能有 元组 没有在 连接结果中出现，也就是在连接过程中被 抛弃了 ，这些被抛弃的元组就是 悬浮元组 。（顺便学个新的英语单词： dangle[verb.]悬挂，悬垂 ）

上面的例子中的悬浮元组是：

COURSEID

0x04 After all

这篇文章写出来一方面是当作我自己学习的笔记，将来如果我忘记了（这个将来可能离现在不远了，我记性很差TAT）能随时捡起来，所以 在我的角度 上尽可能地表达详细了；另一方面也是希望 能多多少少帮助 到大家，毕竟现在关于关系代数的知识在网上还是有点分散的。

因为这篇文章写了两周，中间可能因为时间间断导致我突然想不起来之前 想写什么 了，可能有遗漏或者写错的地方，也请各位多加指教。

写完后咱觉得动图播放速度可能还是有点快了，于是有了写个 关系代数演示小工具 的想法，稍后将作为上方的 0x00环节 放出，目标是能让看到该文章的各位（包括我自己）在动手中加深理解。

0x01 小概念 使用的表格：