摘要 : 从菲涅耳衍射理论出发,以自由空间为例,利用柯林斯公式推导出了任意阶拉盖尔-高斯涡旋光束的传播形式,证明了高阶拉盖尔-高斯涡旋光束在自由空间的传播能够保持其自身表达形式的不变性。此研究方法可以拓展到满足傍轴条件的任意光学系统。对不同阶数的拉盖尔-高斯涡旋光束经过传输后的相位和强度分布分别进行了数值模拟,在传输的过程中,光束的等相位线发生了弯曲并且光束发生了扩散,依据传播表达式对其相位和强度的变化规律进行了分析。 关键词 : 拉盖尔-高斯涡旋光束 柯林斯公式 光学变换矩阵 Abstract : On the basis of Fresnel diffraction theory, the propagation properties of Laguerre-Gaussian vortex beam of any-order in free space were strictly deduced by using the Collins formula.The invariance of the expression form of Laguerre-Gaussian vortex beam of any-order in free space was proved.Only the case of free space propagation of Laguerre-Gaussian vortex beam was conoerned in the paper, nevertheless, the results can be extended to any paraxial optical system.Meanwhile, the phase and intensity distributions of Laguerre-Gaussian vortex beam of different order were numerically simulated.The simulation shows that after propagation, the phase and intensity distributions are both changed.These changes were further analyzed in virtue of the propagation expression. Key words : Laguerre-Gaussian vortex beam propagation Collins formula optical transformation matrix 基模高斯光束在自由空间传播时能保持其自身的表达形式不变,因为,其本身就是一个自傅立叶变换过程。然而对于高阶涡旋光束在自由空间的传播是否也能保持其自身表达形式的不变性,针对这一问题的研究较少。最近,文献 ^{[ 13 ]} 利用菲涅耳衍射理论研究了拉盖尔-高斯涡旋光束的传输特性,由于衍射积分的复杂性,文献 ^{[ 13 ]} 中的入射面电场只考虑了 n=0 的情况,即拉盖尔多项式恒等于1。 n 为拉盖尔多项式过零次数.因此,得到的结果无法应用到任意阶( n≠0 )的拉盖尔-高斯涡旋光束。

本文从菲涅耳衍射理论出发,以自由空间为例,利用柯林斯公式推导出任意阶拉盖尔-高斯光束的传播形式,证明了任意阶拉盖尔-高斯涡旋光束在自由空间传播时都能保持自身表达形式的不变性。更为重要的是,本文的研究方法可以拓展到满足傍轴条件的任意光学系统。

1 理论推导

在傍轴条件满足的情况下,光学系统对光线的变换作用可由其变换矩阵表示,如 图 1 所示。

式中, T 为光学系统的光学变换矩阵; A,B,C,D 是矩阵 T 的元素,取值由光学系统决定。

由光学变换矩阵原理可知,无论一个光学系统有多复杂,只要知道其光学变换矩阵,即可求得出射光线的位置与方向。利用光学矩阵变换原理可以大大简化光线在复杂光学系统中的传输问题。

将以上光学矩阵原理应用于菲涅耳衍射公式 2 仿真模拟和分析

图 2 为涡旋光束在自由空间传播1 m后的强度分布图,由于相位奇点的存在,中心都为暗核,横截面上径向截线圆数由拉盖尔多项式的过零次数决定,取决于 n 。光束的扩散速度与阶数有关,在同样的衍射距离上, n 值相同时, l 值越大,则光束半径越大; l 值相同时, n 值越大,光束半径越大。

决定。由式(18)可知,当光束离开源平面后( z =0),任意点的相位分布不仅与 φ 有关,还受到了 r 的影响,相位随着 r 的增大逐渐增加,造成了等相位线的弯曲,弯曲方向由拓扑荷数的正负决定。当 n≠0 时,拉盖尔多项式每次过零,相应位置增加π的相位差,如 图 3 所示(见下页)。在源平面上,等相位线为由坐标中心出发的射线。等相位线周期数等于拓扑荷 l 的绝对值。经过一段距离的传播后,光束横截面上等相位线发生弯曲,弯曲方向取决于 l 的正负取值。在 z =1 m处的横截面上,当 l 为正 时,等相位线的弯曲方向为逆时针方向;当 l 为负 时,等相位线弯曲方向为顺时针方向。 n=3 时,拉盖尔多项式3次过零,横截面上相位分布发生3次跃变。 3 结 论

得到式(15)等价于式(16)的结论是合理的,因为,式(16)是通过直接求解柱坐标系下傍轴波动方程获得的,而菲涅耳衍射公式(式(2))也源自于傍轴条件下的波动方程,由于理论的自洽性,同一个问题通过这两种方法得到的结果必然是等价的。因此,在探讨拉盖尔-高斯涡旋光束在自由空间的传播特性时,并不需要再作复杂的衍射积分,而可以直接使用拉盖尔-高斯光束的表达式。更为重要的是,本文虽然只推导了拉盖尔-高斯光束在自由空间的传播行为,但只要选取合适的 A,B,C,D 系数,本文的研究方法适用于满足傍轴条件的任意光学系统。例如,只需将 A=D=1 , B=-1/f 代人式(5),经过相同的推导过程即可获得任意阶拉盖尔-高斯涡旋光束经过理想薄透镜的解析表达式。因此,本文的研究方法可应用于涡旋光束经过复杂光学系统时的研究。