合同

决定不鸽，就讲一下合同的几个定理的大框架（思路）。

合同其实是描述双线性函数在不同基下度量矩阵之间关系的概念。虽然今天我们不谈双线性函数，不过从双线性函数得到启发，我们可以构造对称矩阵和二次型之间的一个双射（其实是线性空间之间的同构映射，但是今天的讨论用不到这么强的性质）。合同是一个等价关系，于是可以相应对全体对称矩阵组成的集合进行划分，而全体对称矩阵和全体二次型之间有一个双射，所以这个划分也是对全体二次型组成的几何进行划分。

我们随意选取一个等价类（合同类）加以讨论。想要清楚的研究这个等价类，我们就要找到这个等价类中的不变量，或者找到这个等价类中最简单的那个矩阵。

由合同的定义，一个等价类中的矩阵秩相等。这是第一个不变量，是显然的。我们想要找一个最简单的矩阵，这个矩阵是否存在呢？存在的话是否唯一呢？我们怎么找呢？这是我们面临的主要问题。

实对称矩阵一定正交相似与一个对角阵，这个对角阵主对角线上的元素是这个矩阵的若干特征值。由此，我们知道实对称矩阵一定合同于一个对角阵。再通过一次成对的变换，这个实对称矩阵一定合同于一个对角阵，这个对角阵主对角线上的元素只有1，-1，0。这就是最简单的矩阵。由此，我们可以说，最简矩阵一定存在，而这个最简矩阵的找法就在上述过程中。接下来回答一个最重要的问题：这样的矩阵是否唯一呢？

由于二次型的规范型唯一，所以这个最简矩阵一定唯一。这里唯一的意思是在一个等价类中，只有一个这样的对称矩阵，他的主对角线上的元素全部是1，-1，0。我们将这个矩阵作为一个等价类的代表元素，只要这个矩阵确定，等价类也相应确定。想要确定这个矩阵，就要确定主对角线上1，-1，0的个数。其中，0的个数由秩确定，这是等价类的不变量，我们前面已经过说了。其实，确定1的个数，-1的个数也随之确定。事实上，由于等价类中的任意对角阵都可以经过一次成对的变换变为最简矩阵（这个变换是由相应的二次型如何消去系数决定的），所以1的个数实际上就是（这个合同类中）任意标准型中正系数的个数。在一个合同类中，一切对角阵主对角线上有相同数量的正元素（和相同数量的负元素）。这是第二个不变量，称之为正惯性指数。

于是，当我们确定了一个规范型以后，这个等价类也相应确定。我们找到了两个不变量，一个最简矩阵（这个最简矩阵实际上完全由两个不变量确定）。于是，整个合同类的性质就被我们研究清楚了。

其中等价关系和双射的作用值得体会。