三角函数公式

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记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 ^{．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。}

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样，就得到了诱导公式四。

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos ³ a-3cosa

=4cosa(cos ² a-3/4)

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得：

tan3a =tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin ² a-1)]

cos4a=8cos ⁴ a-8cos ² a+1

tan4a=(4tana-4tan ³ a)/(1-6tan ² a+tan ⁴ a) ^{五倍角公式

c
₀
+c
₁
x+c
₂
x
²
+...+c
_n
x
ⁿ
+...=∑c
_n
x
ⁿ
(n=0..∞)

c
₀
+c
₁
(x-a)+c
₂
(x-a)
²
+...+c
_n
(x-a)
ⁿ
+...=∑c
_n
(x-a)
ⁿ
(n=0..∞)

它们的各项都是

正整数

幂的

幂函数

, 其中c
₀
,c
₁
,c
₂
,...c
_n
...及a都是常数，这种级数称为幂级数。

实用幂级数：

e
^x
= 1+x+x
²
/2!+x
³
/3!+…+x
ⁿ
/n!+…,x∈

R

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)
^k-1
x
^k
/k, x∈(-1,1)

sin x = x-x
³
/3!+x/5!-…+(-1)
^k-1
x
^2k-1
/(2k-1)!+…, x∈

R

cos x = 1-x
²
/2!+x/4!-…+(-1)
^k
x
^2k
/(2k)!+…, x∈

R

arcsin x = x + x
³
/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x
^2k+1
/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）

arccos x = π/2 -[x + x
³
/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1)

arctan x = x - x
³
/3 + x/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x
³
/3!+x/5!+…+x
^2k-1
/(2k-1)!+…, x∈

R

cosh x = 1+x
²
/2!+x/4!+…+x
^2k
/(2k)!+…, x∈

R

arcsinh x =x - x
³
/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) -(1×3×5)x/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x
³
/3 + x/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数

不等式

、面积等等。}