事件包括单位事件、事件空间、随机事件等。

在一次随机试验中可能发生的唯一的，且相互之间独立的结果被称为单位事件，用e表示。在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为事件空间，用S来表示。例如在一次掷骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表示单位事件，那么一共可能出现6个单位事件，则事件空间可以表示为S={1，2，3，4，5，6}。 上面的事件空间是由可数有限单位事件组成，事实上还存在着由可数无限以及不可数单位事件组成的事件空间，比如在一次直到获得 国徽 面朝上的随机掷硬币试验中，其事件空间由可数无限单位事件组成，表示为：S={国，数国，数数国，数数数国，数数数数国，···}，注意到在这个例子中"数数数国"是单位事件。将两根筷子随意扔向桌面，其静止后所形成的 交角 假设为α，这个随机试验的事件空间的组成可以表示为

随机事件是事件空间S的 子集 ，它由事件空间S中的单位元素构成，用大写字母A，B，C...表示。例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件A="获得的点数和大于10"，则A可以由下面3个单位事件组成：A={(5，6)，(6，5)，(6，6)}。 如果在随机试验中事件空间中的所有可能的单位事件都发生，这个事件被称为 必然事件 ，表示为

；相应的如果事件空间里不包含任何一个单位事件，则称之为不可能事件，表示为

事件的计算

因为事件在一定程度上是以 集合 的含义定义的，因此可以把集合 计算方法 直接应用于事件的计算，也就是说，在计算过程中，可以把事件当作集合来对待。

不属于A的事件发生

并集A∪B

或者A或者B或者A，B同时发生

交集A∩B

事件A，B同时发生

差集A\B

不属于B的A事件发生）

空集A∩B=∅A，B事件不同时发生

子集B⊆A

如A发生，则B也一定发生

（1）六合彩：在 六合彩 （49选6）中，一共有13983816种可能性，普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。

（2）生日悖论：在一个足球场上有23个人（2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50%。

（3）轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是18/37。

（4）三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？

正确结果是，如果参赛者改变初衷，他的中奖概率将变成2/3。因为打开山羊门的那一刹那，本来的选择结果已经从1/3几率变到了1/2几率，如果改变初衷此时将是1/2中奖的几率。

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。

概率论 定理3

如果A1...An事件不能同时发生（为 互斥 事件），而且若干事件A1，A2，...An∈S每两两之间是 空集 关系，那么这些所有事件 集合 的概率等于单个事件的概率的和。

例如，在一次掷骰子中，得到5点或者6点的 概率 是：

忽视这一定理是造成许多玩家失败的根源，普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系，因为球本身并没有"记忆"，它并不"知道"以前都发生了什么。

所以，连续10次至少有1次出现红色的概率为

统计概率 是建立在频率理论基础上的，分别由英国逻辑学家 约翰 (John Venn,1834-1923)和 奥地利 数学家理查德(Richard VonMises,1883-1953)提出，他们认为，获得一个事件的概率值的唯一方法是通过对该事件进行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互独立的n次随机试验，针对每次试验均记录下绝对频率值和相对频率值hn(A)，随着试验次数n的增加，会出现如下事实，即相对频率值会趋于稳定，它在一个特定的值上下浮动，也即是说存在着一个 极限值 P(A)，相对频率值趋向于这个极限值。

这个极限值被称为统计概率，表示为：

例如，若想知道在一次掷骰子的随机试验中获得6点的概率值可以对其进行3000次前后独立的扔掷试验，在每一次试验后记录下出现6点的次数，然后通过计算相对频率值可以得到趋向于某一个数的统计概率值。

获得6点的绝对频率

获得6点的相对频率

1.00000

0.50000

0.33333

0.25000

0.40000

0.20000

0.25000

0.12000

0.19500

0.15333

0.18000

0.15200

0.17000

0.17143

0.17000

0.17150

0.16867

上面提到的这个有关相对频率的经验值又被称为 大数定律 ，是频率理论学家定义概率论的基础。然而没有人可以将骰子无限的扔下去，因此在实践中也就无法有力的证明大数定律，许多来自数学理论的论证至今也没有取得成功。尽管如此，统计概率在今天的实践中具有重要意义，它是 数理统计 的基础。

例如，一个随机试验工具由一个骰子和一个柜子中的三个抽屉组成，抽屉1里有14个 白球 和6个黑球，抽屉2里有2个白球和8个黑球，抽屉3里有3个白球和7个黑球，试验规则是首先掷骰子，如果获得小于4点，则抽屉1被选择，如果获得4点或者5点，则抽屉2被选择，其他情况选择抽屉3。然后在选择的抽屉里随机抽出一个球，最后抽出的这个球是白球的概率是：

P(白)=P(白|抽1)·P(抽1)+P(白|抽2)·P(抽2)+P(白|抽3)·P(抽3)

=(14/20)·(3/6)+(2/10)·(2/6)+(3/10)·(1/6)

=28/60=0.4667

从例子中可看出，完全概率特别适合于分析具有 多层结构 的随机试验的情况。

另一个例子，现分别有A，B两个容器，在容器A分别有7个红球和3个白球，在容器B里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，且是红球，问这个红球是来自容器A的概率是多少?

假设已经抽出红球为事件B，从容器A里抽出球为事件A，则有：

，按照公式，则有：

虽然概率论最早产生于17世纪，然而其公理体系却在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如： 物理 、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的 工程学 等领域。

特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果常被用做问卷调查的分析资料，而且也用于对经济前景进行预测。 ^{概率论还能识别“财务造假”？上文介绍了 几个概率中的悖论 ，其中提到了一个与几何概型有关的贝特朗悖论。今天这篇将介绍的本福特定律，也是一条初看起来有些奇怪、不合直觉的定律，不过这条定律用处却很大，甚至还能帮助侦破“财务造假”。 2017-09-09 103 天气预报其实是一种随机变量预报。随机变量一般用概率来描述，生活中处处是随机变量，因而处处有概率。今天，我们就来聊聊概率中的随机变量以及其中的概率论悖论。概 率论中有许多难以解释、似是而非的悖论，从中人们得到的结论是：不能完全相信直觉！ 2017-05-06 10}